Question

10．直线MN与x轴，y轴分别相交A、C两点，分别过A、C作x轴、y轴的垂线，二者相交于B点，且OA=8，OC=6．
（1）求直线MN的解析式；
（2）已知在直线MN上存在点P，使△PBC是等腰三角形，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出点A、C的坐标，运用待定系数法求出直线MN的解析式；
（2）从PC=PB，PC=BC，PB=BC三种情况进行解答．

解答 解：（1）∵OA=8，OC=6，
∴A（8，0），C（0，6），
设直线MN的解析式为：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
直线MN的解析式：y=-$\frac{3}{4}$x+6；
（2）由题意得，B（8，6），
∵点P在直线MN上，
∴设P（a，-$\frac{3}{4}$a+6），
当PC=PB时，点P为BC的中垂线与MN的交点，则P₁（4，3）；
当PC=BC时，a²+（-$\frac{3}{4}$a+6-6）²=64，
解得，a₁=-$\frac{32}{5}$，a₂=$\frac{32}{5}$，
则P₂（-$\frac{32}{5}$，$\frac{54}{5}$），P₃（$\frac{32}{5}$，$\frac{6}{5}$）；
当PB=BC时，（a-8）²+（-$\frac{3}{4}$a+6-6）²=64，
解得，a=$\frac{256}{25}$，
则P₄（$\frac{256}{25}$，-$\frac{42}{25}$）．

点评 本题考查的是待定系数法求一次函数解析式和等腰三角形的判定，灵活运用待定系数法是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．