Question

12．如图，抛物线y=ax²+bx-3（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且BO=OC=3AO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出点C的坐标，在由BO=OC=3AO，确定出点B，A的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）设出点P的坐标，表示出PB，PC，求出BC，分三种情况利用两边相等建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-3，
∴c=-3，
∴C（0，-3），
∴OC=3，
∵BO=OC=3AO，
∴BO=3，AO=1，
∴B（3，0），A（-1，0），
∵该抛物线与x轴交于A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b-3=0}\\{a-b-3=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3，
（2）存在，
理由：设P（1，m），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴BC=3$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，PC=$\sqrt{（m+3）^{2}+1}$，
∵△PBC是等腰三角形，
①当PB=PC时，
∴$\sqrt{{m}^{2}+4}$=$\sqrt{（m+3）^{2}+1}$，
∴m=-1，
∴P（1，-1），
②当PB=BC时，
∴3$\sqrt{2}$=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，
∴m=±$\sqrt{14}$，
∴P（1，$\sqrt{14}$）或P（1，-$\sqrt{14}$），
③当PC=BC时，
∴3$\sqrt{2}$=$\sqrt{（m+3）^{2}+1}$，
∴m=-3±$\sqrt{17}$，
∴P（1，-3+$\sqrt{17}$）或P（1，-3-$\sqrt{17}$），
∴符合条件的P点坐标为P（1，-1）或P（1，$\sqrt{14}$）或P（1，-$\sqrt{14}$）或P（1，-3+$\sqrt{17}$）或P（1，-3-$\sqrt{17}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，解本题的关键是用方程的思想解决问题．