Question

17．设二次函数y₁=a（x-x₁）（x-x₂）（a≠0，x₁=x₂）的图象与一次函数y₂=kx+b（k≠0）的图象交于点（x₁，0），若函数y=y₁+y₂的图象与x轴仅有一个交点，则（　　）

• A． a（x₁-x₂）=k
• B． a（x₂-x₁）=k
• C． a（x₁-x₂）²=k
• D． a（x₁+x₂）²=k

Answer 1

分析 首先根据一次函数y₂=kx+b（k≠0）的图象经过点（x₁，0），可得y₂=k（x-x₁），y=y₁+y₂=ax²+（k-ax₂-ax₁）x+ax₁x₂-kx₁；然后根据函数y=y₁+y₂的图象与x轴仅有一个交点，可得函数y=y₁+y₂与x轴的交点为（x₁，0），再结合对称轴公式求解．

解答 解：∵一次函数y₂=kx+b（k≠0）的图象经过点（x₁，0），
∴kx₁+b=0，b=-kx₁，
∴y₂=k（x-x₁），
∴y=y₁+y₂=a（x-x₁）（x-x₂）+k（x-x₁）
=ax²-axx₂-ax₁x+ax₁x₂+kx-kx₁
=ax²+（k-ax₂-ax₁）x+ax₁x₂-kx₁，
∵当x=x₁时，y₁=0，y₂=0，
∴当x=x₁时，y=y₁+y₂=0，
∵y=ax²+（k-ax₂-ax₁）x+ax₁x₂-kx₁与x轴仅有一个交点，
∴y=y₁+y₂的图象与x轴的交点为（x₁，0），
∴-$\frac{k-a{x}_{2}-a{x}_{1}}{2a}$=x₁，
化简得：a（x₂-x₁）=k．
故选：B．

点评 此题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数y=y₁+y₂与x轴的交点为（x₁，0）．