Question

9．如图，直线y=x+4与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）相交于A（-1，a），B两点．
（1）求点B的坐标；
（2）在y轴上是否存在点P，使PA+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）点B为直线与双曲线的交点，先求得双曲线的解析式，通过解方程组即可得到交点B的坐标；
（2）根据轴对称的性质，作出点A关于y轴的对称点C（1，3），连接BC交y轴于点P，则此时PA+PB的值最小．根据待定系数法求得直线BC的解析式，即可得到点P的坐标．

解答 解：（1）把点A的坐标代入直线y=x+4，可得-1+4=a，
解得a=3，
∴A（-1，3），
把A（-1，3）代入双曲线y=$\frac{k}{x}$，可得3=-k，
∴k=-3，
∴y=-$\frac{3}{x}$，
联立两函数解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{y=-\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
∴点B的坐标为（-3，1）；

（2）作出点A关于y轴的对称点C（1，3），连接BC交y轴于点P，则此时PA+PB的值最小，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B，C的坐标代入，得$\left\{\begin{array}{l}{1=-3m+n}\\{3=m+n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
令x=0，则y=$\frac{5}{2}$，
∴点P的坐标为（0，$\frac{5}{2}$），
故存在点P（0，$\frac{5}{2}$），使PA+PB的值最小．

点评 本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题时注意：一次函数与反比例函数交点坐标同时满足一次函数与反比例函数的解析式．求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解即可．