Question

14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，-3），P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；
（2）有点B、C的坐标可得出直线BC的表达式，过P作PD∥y轴，交BC于D，设出点P的坐标，由此即可得出点D的坐标，根据三角形的面积以及三角形的面积公式即可得出S_{四边形ABPC}关于a的二次函数表达式，根据二次函数的性质即可解决最值问题和点P的坐标即可．

解答 解：（1）将点B（3，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c中，
得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=9+3b+c}\\{-3=c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴该二次函数的表达式为y=x²-2x-3．
（2）∵点B（3，0），点C（0，-3），
∴直线BC：y=x-3．
过P作PD∥y轴，交BC于D，如图1所示．
设P（a，a²-2a-3），则点D（a，a-3），
当y=0时，x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴点A（-1，0）．
则S_{四边形ABPC}=S_△ABC+S_△PBC，
=$\frac{1}{2}$•AB•|y_C|+$\frac{1}{2}$•OB•DP，
=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$3×[a-3-（a²-2a-3）]，
=-$\frac{3}{2}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，0＜a＜3，
∴当a=$\frac{3}{2}$时，四边形ABPC的面积取最大值，最大值为$\frac{75}{8}$，
此时点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、二次函数的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数关系式；（2）根据二次函数的性质解决最值问题，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．