Question

13．如图1，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．
（1）求证：△AEP≌△BAG；
（2）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图2，若连接EF交GA的延长线于H，由（2）中的结论你能判断EH与FH的大小关系吗？并说明理由；

Answer 1

分析 （1）根据等腰Rt△ABE的性质，求出∠EPA=∠EAB=∠AGB=90°，∠PEA=∠BAG，根据AAS推出△EPA≌△AGB；
（2）根据全等三角形的性质推出EP=AG，同理可得△FQA≌△AGC，即可得出AG=FQ，最后等量代换即可得出答案；
（3）求出∠EPH=∠FQH=90°，根据AAS推出△EPH≌△FQH，即可得出EH与FH的大小关系；

解答 解：（1）如图1，∵∠EAB=90°，EP⊥AG，AG⊥BC，
∴∠EPA=∠EAB=∠AGB=90°，
∴∠PEA+∠EAP=90°，∠EAP+∠BAG=90°，
∴∠PEA=∠BAG，
在△EPA和△AGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EPA=∠BGA}\\{∠PEA=∠BAG}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△EPA≌△AGB（AAS），

（2）EP=FQ，
证明：由（1）可得，△EPA≌△AGB，
∴EP=AG，
同理可得，△FQA≌△AGC，
∴AG=FQ，
∴EP=FQ；

（3）EH=FH，
理由：如图，∵EP⊥AG，FQ⊥AG，
∴∠EPH=∠FQH=90°，
在△EPH和△FQH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EHP=∠FHQ}\\{∠EPH=∠FQH}\\{EP=FQ}\end{array}\right.$，
∴△EPH≌△FQH（AAS），
∴EH=FH．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．