Question

3．阅读下面材料，回答问题：
距离能够产生美．
唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．”
当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：
“世界上最遥远的距离
不是瞬间便无处寻觅
而是尚未相遇
便注定无法相聚”
距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．
已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．
（1）当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB=OB=|b|=|a-b|．
（2）当A、B两点都不在原点时，
①如图2，点A、B都在原点的右边，AB=OB-OA=|b|-|a|=b-a=|a-b|；
②如图3，点A、B都在原点的左边，AB=OB-OA=|b|-|a|=-b-（-a）=a-b=|a-b|；
③如图4，点A、B在原点的两边，AB=OA+OB=|a|+|b|=a+（-b）=a-b=|a-b|．
综上，数轴上A、B两点的距离|AB|=|a-b|．
利用上述结论，回答以下三个问题：
（1）若数轴上表示x和-2的两点之间的距离是4，则x=-6或2；
（2）若代数式|x+1|+|x-2|取最小值时，则x的取值范围是-1≤x≤2；
（3）若未知数x、y满足（|x-1|+|x-3|）（|y-2|+|y+1|）=6，则代数式x+2y的最大值是7，最小值是-1．

Answer 1

分析 （1）把问题转化为绝对值方程，即可解决问题．
（2）若代数式|x+1|+|x-2|取最小值时，表示在数轴上找一点x，到-1和2的距离之和最小，显然这个点x在-1和2之间（包括-1，2），由此即可解决问题．
（3））因为（|x-1|+|x-3|）（|y-2|+|y+1|）=6，又因为|x-1|+|x-3|的最小值为2，|y-2|+|y+1|的最小值为3，所以1≤x≤3，-1≤y≤2，由此不难得到答案．

解答 解：（1）若数轴上表示x和-2的两点之间的距离是4，
则|x+2|=4，
解得x=-2-4=-6或x=-2+4=2．
故答案为-6或2．
故答案为-1≤x≤2．

（2）若代数式|x+1|+|x-2|取最小值时，表示在数轴上找一点x，到-1和2的距离之和最小，显然这个点x在-1和2之间（包括-1，2），
∴x的取值范围是-1≤x≤2，
故答案为-1≤x≤2．

（3）∵（|x-1|+|x-3|）（|y-2|+|y+1|）=6，
又∵|x-1|+|x-3|的最小值为2，|y-2|+|y+1|的最小值为3，
∴1≤x≤3，-1≤y≤2，
∴代数式x+2y的最大值是7，最小值是-1．
故答案为7，-1．

点评 本题考查数轴、绝对值等知识，解题的关键是理解绝对值的几何意义，学会用轴的思想思考问题，属于中考常考题型．