Question

6．如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连接BE．
（1）若AF是△ABE的中线，且AF=5，AE=6，连结DF，求DF的长；
（2）若AF是△ABE的高，延长AF交BC于点G．
①如图2，若点E是AC边的中点，连结EG，求证：AG+EG=BE；
②如图3，若点E是AC边的动点，连结DF，当点E在AC边上（不含端点）运动时，∠DFG的大小是否改变？如果不变，请求出∠DFG的度数；如果改变，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）∠BAC=90°，AB=AC，AF是△ABE的中线，于是得到BE=2AF=10，根据勾股定理求得AB=AC=$\sqrt{B{E}^{2}-A{E}^{2}}$=8，得到CE=2，根据三角形的中位线的性质即可得到结论；
（2）①过点C作CM⊥AC交AG延长线于点M，易证△ABE≌△CAM，可得AE=CM，∠AEB=∠M，AM=BE，即可证明△EGC≌△MCG，可得EG=GM，于是问题得证；
②由AD⊥BC于点D，AF是△ABE的高，得到A，B，D，F四点共圆，根据圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠AFD=180°．由邻补角的定义得到∠AFD+∠DFG=180°，于是得到∠DFG=∠ABD，即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，AF是△ABE的中线，
∴BE=2AF=10，
∵AE=6，
∴AB=AC=$\sqrt{B{E}^{2}-A{E}^{2}}$=8，
∴CE=2，
∵AD⊥BC于点D，
∴BD=CD，
∵BF=EF，
∴DF=$\frac{1}{2}$CE=1；

（2）①证明：如图，过点C作CM⊥AC交AG延长线于点M，
在△ABE和△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CAM}\\{AB=AC}\\{∠BAC=∠ACM}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAM（ASA），
∴AE=CM，∠AEB=∠M，BE=AM，
∵AE=EC，
∴EC=CM，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠ACM=90°，
∴∠GCM=90-45°=45°=∠ACG，
在△EGC和△MGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=MC}\\{∠GCM=∠ECG}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△EGC≌△MCG（SAS），
∴GE=EM，
∵AM=AG+GM=AG+GE，
∴AG+GE=BE；
②∠DFG的大小不会改变，
∵AD⊥BC于点D，AF是△ABE的高，
∴∠AFB=∠ADB=90°，
∴A，B，D，F四点共圆，
∴∠ABD+∠AFD=180°．
∵∠AFD+∠DFG=180°，
∴∠DFG=∠ABD，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠DFG=∠ABD=45°．

点评 本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，四点共圆，三角形的中位线的性质，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABE≌△CAM、△EFC≌△MCF是解题的关键．