Question

【题目】如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）顶点为D

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）判断△BCD的形状，并说明理由；

（3）点P在抛物线上，点Q在直线y＝x上，是否存在点P、Q使以点P、Q、C、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3，顶点D的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）△BCD为直角三角形，理由详见解析；（3）存在，点P（﹣1，4）或（2，5）．

【解析】

（1）把点A、C坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）BD=，CD=，BC=，由勾股定理的逆定理即可求解；

（3）分OC是平行四边形的一条边、CO是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．

（1）把点A、C坐标代入抛物线表达式得：，解得：，

抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3，

顶点D的坐标为（﹣1，﹣4）；

（2）y＝x2+2x﹣3，令y＝0，则x＝1或﹣3，故点B（﹣3，0），而C、D的坐标分别为：（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），

则BD=，CD=，BC=，

故：BD2＝CD2+BC2，

故△BCD为直角三角形；

（3）存在，理由：

①当OC是平行四边形的一条边时，

设：点P（m，m2+2m﹣3），点Q（m，m），

则PQ＝OC＝3，

PQ＝|m2+2m﹣3﹣m|＝3，

解得：m＝﹣1或2或0或﹣3（舍去0、﹣3），

故m＝﹣1或2；

②当CO是平行四边形的对角线时，

设点P（m，m2+2m﹣3），点Q（n，n），

由中线定理得：，

解得：m＝0或﹣1（舍去0）；

故m＝﹣1或2，

则点P（﹣1，-4）或（2，5）．