【题目】如图,BD是菱形ABCD的对角线,E是边AD的中点,F是边AB上的一点,将△AEF沿EF所在的直线翻折得到△A′EF,连结A′C.若AB=5,BD=6,当点A′到∠A的两边的距离相等时,A′C的长是_____.
【答案】4
【解析】
由菱形的性质可得AB=BC=CD=AD=5,BD⊥AC,DO=BO=BD=3,AO=CO,AC平分∠DAB,由勾股定理可求AO,AC的长,由角平分线的性质可得点A'在线段AC上,由平行线分线段成比例可求AH的长,即可求A'C的长.
如图,连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD=5,BD⊥AC,DO=BO=BD=3,AO=CO,AC平分∠DAB,
∴AO==4,
∴AC=2AO=8,
∵点A′到∠DAB的两边的距离相等,
∴点A'在∠DAB的平分线上,即点A'在线段AC上,
∵将△AEF沿EF所在的直线翻折得到△A′EF,
∴AH=A'H,EF⊥AC,
∴EF∥DB,
∴,
∴AO=2AH,
∴AH=2,
∴A'C=AC﹣AA'=8﹣4=4,
故答案为:4
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,∠ACB是圆周角,CD平分∠ACB,交⊙O于点D,过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E,连接AD,BD.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AB=12,AC=6,求由AB,BD,弧AD围成的阴影部分的面积;
(3)在(2)的条件下,求线段DE的长.
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想
图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
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【题目】红灯笼,象征着阖家团圆,红红火火,挂灯笼成为我国的一种传统文化.小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼,用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同,已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元.
(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价;
(2)经市场调查发现,乙灯笼每对售价50元时,每天可售出98对,售价每提高1元,则每天少售出2对:物价部门规定其销售单价不高于每对65元,设乙灯笼每对涨价x元,小明一天通过乙灯笼获得利润y元.
①求出y与x之间的函数解析式;
②乙种灯笼的销售单价为多少元时,一天获得利润最大?最大利润是多少元?
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【题目】某种进价为每件40元的商品,通过调查发现,当销售单价在40元至65元之间()时,每月的销售量(件)与销售单价(元)之间满足如图所示的一次函数关系.
(1)求与的函数关系式;
(2)设每月获得的利润为(元),求与之间的函数关系式;
(3)若想每月获得1600元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(4)当销售单价定为多少元时,每月的销售利润最大?最大利润是多少元?
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是AB延长线上的点,CD与⊙O相切于点D,连结BD、AD
(1)求证:∠BDC=∠A;
(2)若∠C=45°,⊙O的半径为1,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)
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【题目】如图,点A在双曲线y= 上,点B在双曲线y=(k≠0)上,AB∥x轴,交y轴于点C,若AB=2AC,则k的值为( )
A.6B.8C.10D.12
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【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,﹣3)顶点为D
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)判断△BCD的形状,并说明理由;
(3)点P在抛物线上,点Q在直线y=x上,是否存在点P、Q使以点P、Q、C、O为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P是AB延长线上一点,连接PC交DB的延长线于点F,且∠PFB=3∠CAB.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)延长AC,DF相交于点G,连接PG,请探究∠CPG和∠CAB的数量关系,并说明理由;
(3)若tan∠CAB=,CF=5,求⊙O的半径.
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