Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，∠ACB是圆周角，CD平分∠ACB，交⊙O于点D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD．

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若AB＝12，AC＝6，求由AB，BD，弧AD围成的阴影部分的面积；

(3)在(2)的条件下，求线段DE的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)9π+18；(3)DE＝2+6．

【解析】

(1)由∠AOD＝90°，即OD⊥AB，根据DE∥AB可得OD⊥DE，即可得证；

(2)根据题意作出合适的辅助线，然后根据题目中的数据和图形，即可求得阴影部分的面积；

(3)根据题意和图形，利用平行线的性质和特殊角的三角函数可以求得DE的长．

(1)如图，连接OD，

∵AB是直径，且AB＝10，

∴∠ACB＝90°，AO＝BO＝DO＝5，

∵CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠ACD＝∠ACB＝45°，

∴∠AOD＝90°，即OD⊥AB，

∵DE∥AB，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

(2)∵⊙O的直径AB＝12，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，

∴∠ADB＝90°，AD＝BD，

∴∠OBD＝∠ODB＝45°，

∴OB＝OD＝6，

∴由AB，BD，围成的阴影部分的面积是：＝9π+18；

(3)∵AF⊥DE于点F，则AF＝OD＝6，

∵AB∥DE，∠OAB＝45°，

∴∠ADF＝∠OAB＝45°，

∴DF＝AF＝6，

∵∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝12，

∴∠CBA＝30°，

∴∠CAB＝60°，

∵AB∥DE，

∴∠E＝∠CAB＝60°，

∵AF＝6，∠AFE＝90°，

∴EF＝，

∴DE＝EF+DF＝2+6．