Question

如图，抛物线y=ax²+bx（a＞0）与双曲线y=相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，连结AB交y轴于点E，且S△BOE=S△AOB（O为坐标原点）．
（1）求此抛物线的函数关系式；
（2）过点A作直线平行于x轴交抛物线于另一点C．问在y轴上是否存在点P，使△POC与△OBE相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由；
（3）抛物线与x轴的负半轴交于点D，过点B作直线l∥y轴，点Q在直线l上运动，且点Q的纵坐标为t，试探索：当S_△AOB＜S_△QOD＜S_△BOC时，求t的取值范围．

Answer 1

解：（1）点A（1，4）在双曲线y=上，得k=4
∵S_△BOE=S_△AOB，
∴|x_A|：|x_B|=1：2
∴x_B=-2，
∵点B在双曲线y=上，
∴点B的坐标为（-2，-2）
∵点A，B都在y=ax²+bx（a＞0）上，
∴
解得：
所求的二次函数的解析式为：y=x²+3x；

（2）∵点C坐标为（-4，4），若点P在y轴的正半轴，则∠POC=45°，不符合题意．
所以点P在y轴的负半轴上，则∠POC=45°
此时有∠POC=∠BOE=135°，
所以或时，
△POC与△OBE相似
∴OP=4或8．
所以点P的坐标为（0，-4）或（0，-8）；

（3）设点Q的坐标为（-2，t）
∵直线AB经过点A（1，4），B（-2，-2）
∴直线AB的函数关系式为y=2x+2
∴E（0，2）
由y=x²+3x可知点D（-3，0）．
∵S_△AOB=3，S_△QOD=，S_△BOC=8
∴3＜＜8
当t≥0时，2＜t＜
当t＜0时，-＜t＜-2
综上：2＜t＜或-＜t＜-2
分析：（1）首先求得反比例函数的解析式，然后求得点B的坐标，利用待定系数法求得抛物线的解析式即可；
（2）根据△POC与△OBE相似，得到OP=4或8，从而求得点P的坐标即可；
（3）求得点Q、点E、点D的坐标，从而表示出S_△AOB=3，S_△QOD=，S_△BOC=8，得到3＜＜8，从而求得t的取值范围；
点评：此题考查了二次函数的综合题目，第一问的解答关键是掌握待定系数法的运用，求解第二问需要我们会根据相似三角形的性质求线段的长，涉及到了分类讨论的数学思想，此类综合题目，难度较大，注意逐步分析．