Question

设a和b是两个自然数，考虑下述四句话：①a+1能被b整除；②a=2b+5；③a+b能被3整除；④a+7b是质数． 已知这四句话中，只有三句话是正确的，另一句是错误的，求出ab的所有可能值．

Answer 1

考点：数的整除性

专题：

分析：首先观察②a=2b+5；③a+b能被3整除，其中有一个是错误的，若a+b能被3整除，那么设a+b=3k（k是不为0的自然数），a+7b=a+b+6b=3k+6b能被3整除，则③④有一个是错误的，根据题意只有一个是错误的，即③是错误的，据此算出a和b的值．

解答：解：若a=2b+5，则a+b=3b+5不能被3整除，
即②，③中有一个错误，
若a+b能被3整除，那么设a+b=3k（k是不为0的自然数），a+7b=a+b+6b=3k+6b能被3整除，
∴a+7b不是质数，
∴③．④有一个错，
∵只有3句是正确的，
∴是③错，①、②、④正确．
∵a+1=2b+6能被b整除，
∴6能被b整除．a+7b=9b+5是质数，
∴b是偶数，b=2或6．
∴a=9，b=2或a=17，b=6都符和条件．
∴ab=18或102．

点评：本题主要考查了数的整除的知识，解答本题的关键是能论证出③a+b能被3整除是错误的，此题有一定的难度．