Question

【题目】如图，点E、F为菱形ABCD对角线BD的三等分点.

（1）试判断四边形AECF的形状，并加以证明；

（2）若菱形ABCD的周长为52，BD为24，试求四边形AECF的面积.

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2） 40

【解析】试题分析：（1）根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，再求出BO=OD，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明；
（2）根据菱形的四条边都相等求出边长AB，根据菱形的对角线互相平分求出OB，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．

试题解析：

（1）四边形ABCD为菱形．
理由如下：如图，连接AC交BD于点O，

∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴BE=FD，
∴BO=OD，
∵AO=OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形；

（2）∵四边形ABCD为菱形，且周长为52，
∴AB=13，
∵BD=24，E、F为菱形ABCD对角线BD的三等分点，
∴OB=BD=×24=12,EF=，
由勾股定理得，AO=,

∴AC=2AO=2×5=10，
∴S四边形AECF=EFAC=×8×10=40．