Question

19．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（　　）

• A． 2$\sqrt{5}$cm
• B． 4$\sqrt{5}$cm
• C． 2$\sqrt{5}$cm或4$\sqrt{5}$cm
• D． 2$\sqrt{3}$cm或4$\sqrt{3}$cm

Answer 1

分析 先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．

解答 解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM=$\sqrt{O{A}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5-3=2cm，
在Rt△AMC中，AC=$\sqrt{A{M}^{2}+M{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$cm．
故选C．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．