Question

1．设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF=45°．若AB=5，求△ECF的周长．

Answer 1

分析 将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG．首先证明△AFE≌△AFG，进而得到EF=BE+FD，从而将三角形的周长转化为BC+CD的长．

解答 解：如图所示，将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG．

∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠FAG}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，即：EF=BE+DF．
∴△EFC的周长=EC+CF+EF=EC+CF+BE+FD=BC+CD=5×2=10．

点评 考查正方形的性质、全等三角形的判定及其性质为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，将三角形的周长转为BC+CD的长．