Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0）两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
（1）求此二次函数的解析式，并写出它的对称轴；
（2）若直线l：y=kx（k＞0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若直线l′：y=m与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

Answer 1

解：（1）把点A（-1，0）、B（3，0）的坐标代入解析式中，得：
，
解得；
∴解析式为y=-x²+2x+3，
对称轴为直线x=1；

（2）∵点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴OB=OC=3，OA=1，，AB=4，
∠OCB=∠OBC=45°，tan∠CAO=3；
若△OBD∽△ABC，则，
∴，，过D作DE⊥x轴于点E，
则，，
∴；
若△DBO∽△ABC，则，
∴，，过D作DE⊥x轴于点E，
则，OE=OB-BE=OB-DE=3-2=1，
∴D（1，2）
即或D（1，2）；

（3）如图，①当直线MN在x轴上方时
设圆的半径为r（r＞0），则N（r+1，r），
代入抛物线的表达式，
解得
②当直线MN在x轴下方时，
设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，-R），
代入抛物线的表达式，
解得
∴圆的半径为或．
分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可得到待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式和对称轴方程；
（2）易知A、B、C的坐标，即可得到AB、BC、OB的长，若以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似，则有两种情况：△OBD∽△ABC或△DBO∽△ABC，根据相似三角形所得比例线段，即可求得BD的长，易知△OBC是等腰直角三角形，那么△OBD也是等腰直角三角形，即可由BD的长求出DE、BE的值，从而确定点D的坐标；
（3）由于以MN为直径的圆与x轴相切，那么圆心的纵坐标的绝对值等于MN的一半也就是圆的半径，所以可利用抛物线的对称轴和圆的半径表示出M或N的坐标，然后代入抛物线的解析式中，即可求得此圆的半径长．
点评：此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系等知识，同时还应用了分类讨论的数学思想，综合性强，难度较大．