Question

如图（1），四边形ABCD为平行四边形，E在CD上，将△CBE沿BE翻折，点C正好落在AD边上的点C′处．
（1）在图（1）中，请直接写出四对相等的线段；
（2）将图（1）中的△ABC′剪下拼接在图（2）中△DCF的位置上（其中△ABC′的三个顶点A、B、C′分别与△DCF的三个顶点D、C、F重合，并且图（2）的点C′、D、F三点在同一直线上）试证明图（2）中的四边形BCFC′是菱形．

Answer 1

（1）解：写出AB=CD，AD=BC，BC=BC'，EC=EC'，BC'=AD中的任意四对相等线段即可；

（2）证明一：在图甲中
∵四边形ABCD为平行四边形BC=AD，BC∥C'D
在图甲与图乙中依题意知△ABC'≌△DCF，∴AC'=DF
∴AC'+C'D=C'D+DF
∴AD=C'F，即BC=C'F．
又∵BC∥C'F
∴四边形BCFC'为平行四边形，
由折叠的性质知BC=BC'
∴四边形BCFC'为菱形．

证明二：∵C'，D，F三点共线，又△ABC'的三个顶点A，B，C'分别与△DCF的三个顶点D，C，F重合
∴△ABC'≌△DCF
∴AC'=DF，AC'+C'D=C'D+DF
即AD=C'F
又∵四边形ABCD是平行四边形，BC∥C'F
∴四边形BCFC'是平行四边形，
又BC=BC'
∴平行四边形BCFC'是菱形．
分析：（1）、由平行四边形的性质知，AB=CD，AD=BC，由折叠的性质知，BC=BC′，CE=C′E．
（2）、在图甲中，由平行四边形的性质知，BC=AD，BC∥C'D，在图甲与图乙中依题意知△ABC'≌△DCF?AC'=DF?AC'+C'D=C'D+DF?AD=C'F，即得BC=C'F，易证明四边形BCFC'为平行四边形，由折叠的性质知BC=BC'，由一组邻边相等的平行四边形是菱形得，四边形BCFC'为菱形．
点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、平行四边形的判定和性质，菱形的判定求解．