Question

19．一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度16m，为了安全起见，分别在桥的两侧安装如图1所示的不锈钢护栏（护栏包括支柱和衡量），相邻两支柱间的距离均为4m．
（1）如图所示建立直角坐标系，求这条抛物线的函数表达式；
（2）求安装护栏所需钢管的总长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道，其中的一条行车道能否并排行驶宽2.4m，高3m的两辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解；
（2）先求出EF的长，可求出支柱MN的长度，即可求出所需钢管的总长度；
（3）把x=4.8代入（1）的函数表达式，求出y的值即可判断．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+c，
由题意可知，B（8，0），C（0，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=64a+c}\\{c=6}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{3}{32}$，b=6．
∴y=-$\frac{3}{32}$x²+6；
（2）由题意得，PQ=2，GH=8，
当x=4时，y=4.5，即EF=4.5，
∴MN=8-4.5=3.5，
∴所需钢管的总长度为：2×（8×2+3.5×2+2+16）=82米；
（3）把x=4.8代入y=-$\frac{3}{32}$x²+6，
解得：y=3.84＞3．
∴一条行车道能并排行驶宽2.4m，高3m的两辆汽车．

点评 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．