Question

9．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）求AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据SAS证明△ABE与△CAD全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠ABE=∠CAD，进而解答即可；
（3）根据含30°的直角三角形的性质解答即可．

解答 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
又∵AE=CD，
在△ABE与△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAC=∠C}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAD（SAS）
（2）由上得∠ABE=∠CAD  AD=BE，
∴∠BPQ=∠BAD+∠ABE
=∠BAD+∠CAD
=60°；
（3）∵BQ⊥AD，∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=6，
又∵AD=BE，
∴BE=BP+PE=6+1=7．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．