Question

7．在△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：
（1）∠B=60°，a=3$\sqrt{3}$
（2）c=10，∠B=45°
（3）a=3$\sqrt{2}$，b=3$\sqrt{6}$
（4）∠A=2∠B，c-b=8．

Answer 1

分析 （1）先利用互余计算出∠A，再利用正切的定义求出b，利用含30度对的边等于斜边的一半得到c的值；
（2）先利用互余计算出∠A，再利用勾股定理求得a，b；
（3）先利用勾股定理计算出c，再利用正切的定义求出∠A，然后利用互余计算∠B；
（4）先利用∠A=2∠B，∠A+∠B=90°求得∠A，∠B，再利用含30度对的边等于斜边的一半得到得到方程，即可得到结果．

解答 解：（1）∵∠B=60°，
∴∠A=30°，
∵tanA=$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴b=9，c=2a=6$\sqrt{3}$；

（2）∵∠B=45°，
∴∠A=45°，
∴a=b=csinA=5$\sqrt{2}$；

（3）由勾股定理得：c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}+（3\sqrt{6}）^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∵tanA=$\frac{a}{b}$=$\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=60°；

（4）∵∠A=2∠B，∠A+∠B=90°，
∴∠A=60°，∠B=30°，
∴c=2b，
∵c-b=8，
∴b=8，c=16，
∴a=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=8$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角函数的定义，掌握解直角三角形的方法步骤是解题的关键，即有角先求角，有斜用弦，有直有切．