Question

【题目】问题情境：如图①，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，可以发现PA是点P到⊙O上的点的最短距离．

（1）直接运用：如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是　 　．

（2）构造运用：如图③，在边长为8的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．

（3）综合运用：如图④，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，分别以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于　 　．

Answer 1

【答案】（1）﹣1；（2）4﹣4；（3）﹣3

【解析】

（1）先确定出AP最小时点P的位置，如图1中的P'的位置，即可得出结论；

（2）先判断出A'M＝AM＝MD，再构造出直角三角形，利用锐角三角函数求出DH，MH，进而用用勾股定理求出CM，即可得出结论；

（3）利用对称性确定出点B关于x轴的对称点B'，即可求出结论.

（1）如图1，取BC的中点E，

连接AE，交半圆于P'，在半圆上取一点P，连接AP，EP，

在△AEP中，AP+EP＞AE，

即：AP'是AP的最小值，

∵AE＝，P'E＝1，

∴AP'＝﹣1；

故答案为：﹣1；

（2）如图2，由折叠知，A'M＝AM，

∵M是AD的中点，

∴A'M＝AM＝MD，

∴以点A'在以AD为直径的圆上，

∴当点A'在CM上时，A'C的长度取得最小值，

过点M作MH⊥CD于H，

在Rt△MDH中，DH＝DMcos∠HDM＝2，MH＝DMsin∠HDM＝2，

在Rt△CHM中，CM＝＝4，

∴A'C＝CM﹣A'M＝4﹣4；

（3）如图3，作⊙B关于x轴的对称圆⊙B'，连接AB'交x轴于P，

∵B（3，4），

∴B'（3，﹣4），

∵A（﹣2，3），

∴AB'＝＝

∴PM+PN的最小值＝AB'﹣AM﹣B'N'＝AB'﹣AM﹣BN＝﹣3.

故答案为：﹣3.