Question

【题目】已知，在△ABC和△EFC中，∠ABC＝∠EFC＝90°，点E在△ABC内，且∠CAE+∠CBE＝90°

（1）如图1，当△ABC和△EFC均为等腰直角三角形时，连接BF，

①求证：△CAE∽△CBF；

②若BE＝2，AE＝4，求EF的长；

（2）如图2，当△ABC和△EFC均为一般直角三角形时，若＝k，BE＝1，AE＝3，CE＝4，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②2；（2）

【解析】

（1）①先判断出∠BCF＝∠ACE，再判断出，即可得出结论；

②先判断出∠CBF＝∠CAE，进而判断出∠EBF＝90°，再求出BF＝2，最后用勾股定理求解即可得出结论；

（2）先判断出∠BCF＝∠ACE，再判断出，进而判断出△BCF∽△ACE，进而表示出BF＝，再表示出EF＝，最后用勾股定理得，BE2+BF2＝EF2，建立方程求解即可得出结论．

解：（1）①∵△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，

∴∠ECF＝∠ACB＝45°，

∴∠BCF＝∠ACE，

∵△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，

∴CE＝CF，AC＝CB，

∴＝，

∴，

∴△BCF∽△ACE；

②由①知，△BCF∽△ACE，

∴∠CBF＝∠CAE，＝，

∴BF＝AE＝×4＝，

∵∠CAE+∠CBE＝90°，

∴∠CBF+∠CBE＝90°，

即：∠EBF＝90°，

根据勾股定理得，EF＝；

（2）如图（2），连接BF，

在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝k，

同理，tan∠ECF＝k，

∴tan∠ACB＝tan∠ECF，

∴∠ACB＝∠ECF，

∴∠BCF＝∠ACE，

在Rt△ABC中，设BC＝m，则AB＝km，

根据勾股定理得，AC＝；

在Rt△CEF中，设CF＝n，则EF＝nk，同理，CE＝，

∴，，

∴，

∵∠BCF＝∠ACE，

∴△BCF∽△ACE，

∴∠CBF＝∠CAE，

∵∠CAE+∠CBE＝90°，

∴∠CBF+∠CBE＝90°，

即：∠EBF＝90°，

∵△BCF∽△ACE，

∴

∴BF＝AE＝

∵CE＝4，

∴，

∴n＝，

∴EF＝，

在Rt△EBF中，根据勾股定理得，BE2+BF2＝EF2，

∴12+（）2＝（）2，

∴k＝或k＝（舍），

即：k的值为．