Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．

（1）求证：MN是⊙O的切线．

（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．

①求证：FD＝FG．

②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②AE＝1

【解析】

（1）由AB为直径知∠ACB＝90°，∠ABC+∠CAB＝90°．由∠MAC＝∠ABC可证得∠MAC+∠CAB＝90°，则结论得证；

（2）①证明∠BDE＝∠DGF即可．∠BDE＝90°﹣∠ABD；∠DGF＝∠CGB＝90°﹣∠CBD．因为D是弧AC的中点，所以∠ABD＝∠CBD．则问题得证；

②连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．证明Rt△ADE≌Rt△CDH，可得AE＝CH．根据AB＝BH可求出答案．

（1）证明：∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠ABC＝90°；

∵∠MAC＝∠ABC，

∴∠MAC+∠CAB＝90°，即MA⊥AB，

∴MN是⊙O的切线；

（2）①证明：∵D是弧AC的中点，

∴∠DBC＝∠ABD，

∵AB是直径，

∴∠CBG+∠CGB＝90°，

∵DE⊥AB，

∴∠FDG+∠ABD＝90°，

∵∠DBC＝∠ABD，

∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，

∴FD＝FG；

②解：连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．

∵∠DBC＝∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，

∴DE＝DH，

在Rt△BDE与Rt△BDH中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），

∴BE＝BH，

∵D是弧AC的中点，

∴AD＝DC，

在Rt△ADE与Rt△CDH中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）．

∴AE＝CH．

∴BE＝AB﹣AE＝BC+CH＝BH，即5﹣AE＝3+AE，

∴AE＝1．