【题目】(1)如图1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AP、BP分别平分∠CAB、∠CBA,过点P作DE∥AB交AC于点D,交BC于点E.求证:①点P是线段DE的中点;②求证:BP2=BE·BA;
(2)如图2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=12,BP平分∠ABC,过点P作DE∥AB交AC于点D,交BC于点E,若点P为线段DE的中点,求AD的长度.
【答案】(1)①见解析,②见解析;(2)
【解析】
(1)①由角平分线的性质和平行线的性质得到,根据等角对等边得到EB=PE,同理得到AD=DP.由平行线分线段成比例定理得到,进而得到EP=DP,即可得出结论;
②先证,由相似三角形对应边成比例得到,即可得出结论;
(2)根据勾股定理,得到AC的长.由(1)得.设AD=x,则,设AD=x,则.有平行线分线段成比例定理可求出BE的长,进而得到CE、DE的长.在Rt△CDE中,根据勾股定理即可得到结论.
(1)①证明:∵平分,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴,
同理.
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,即,
∴,
∴是的中点;
②由①得,
∵平分,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴;
(2)由勾股定理,得:.
由(1)得.
设AD=x,则.
∵,
∴,
∴,
∴BE=,
∴EP=PD=BE=,,
∴DE=.
在Rt△CDE中,∵,
∴,解得:,或(不合题意,舍去).故AD的长为.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线:和直线:,点和均在直线上.
(1)求直线的解析式;
(2)若抛物线过点,且抛物线与线段有两个不同的交点,求的取值范围;
(3)将直线下移2个单位得到直线,直线与抛物线:交于、两点,若点的横坐标为,点的横坐标为,当,时,求的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知四边形DOBC是矩形,且D(0,4),B(6,0).若反比例函数(x>0)的图象经过线段OC的中点A,交DC于点E,交BC于点F.设直线EF的解析式为y2=k2x+b.
(1)求反比例函数和直线EF的解析式;
(温馨提示:平面上有任意两点M(x1,y1)、N(x2,y2),它们连线的中点P的坐标为( ))(2)求△OEF的面积;
(3)请结合图象直接写出不等式k2x -b﹣>0的解集.
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【题目】如图1,抛物线过点,,点为直线下方抛物线上一动点,为抛物线顶点,抛物线对称轴与直线交于点.
(1)求抛物线的表达式与顶点的坐标;
(2)在直线上是否存在点,使得,,,为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请求出点坐标;
(3)在轴上是否存在点,使?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,A、B、C三个城市位置如图所示,A城在B城正南方向180 km处,C城在B城南偏东37°方向.已知一列货车从A城出发匀速驶往B城,同时一辆客车从B城出发匀速驶往C城,出发1小时后,货车到达P地,客车到达M地,此时测得∠BPM=26°,两车又继续行驶1小时,货车到达Q地,客车到达N地,此时测得∠BNQ=45°,求两车的速度.(参考数据:sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈,sin26°≈,cos26°≈,tan26°≈)
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【题目】如图是抛物线形拱桥,当拱顶高离水面2m时,水面宽4m,水面下降2.5m,水面宽度增加( )
A. 1 m B. 2 m C. 3 m D. 6 m
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AB是直径,过点A作直线MN,且∠MAC=∠ABC.
(1)求证:MN是⊙O的切线.
(2)设D是弧AC的中点,连结BD交AC于点G,过点D作DE⊥AB于点E,交AC于点F.
①求证:FD=FG.
②若BC=3,AB=5,试求AE的长.
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【题目】如图,在“飞镖形”ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)“飞镖形”ABCD满足条件 时,四边形EFGH是菱形.
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【题目】如图,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的一点H重合(H不与端点C,D重合),折痕交AD于点AB E,交BC于点F,边AB折叠后与边BC交于点G,设正方形ABCD的周长为m,的周长为n,则的值为( )
A.B.C.D.随H点位置的变化而变化
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