【题目】如图1,抛物线过点,,点为直线下方抛物线上一动点,为抛物线顶点,抛物线对称轴与直线交于点.
(1)求抛物线的表达式与顶点的坐标;
(2)在直线上是否存在点,使得,,,为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请求出点坐标;
(3)在轴上是否存在点,使?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),点的坐标为(1,-4);(2)符合条件的点的坐标为,;(3)点的坐标为或.
【解析】
(1),代入抛物线即可求出抛物线解析式,配方即可求出顶点坐标;
(2)用待定系数法求出直线的表达式为,求得MN=1,分①若为平行四边形的一边,则有,且及②若为平行四边形的对角线,进行解答即可;
(3)构造,使得,作轴,则,根据勾股定理可得,即可求出点的坐标
(1)把,代入抛物线得
解得:
∴
∵
∴点的坐标为(1,-4).
(2)设直线的表达式为,则
解得:
∴直线的表达式为.
当时,,
∴点的坐标为(1,-3),
∴.
①若为平行四边形的一边,则有,且.
设点坐标,则,
∴,
∴(舍去),.
∴点坐标为.
②若为平行四边形的对角线,设,则.
代入抛物线得:,解得(舍去),,
∴
综上所述,符合条件的点的坐标为,.
(3)
如图,在对称轴上取点,易得,且,以为圆心,为半径作圆交轴与点,则.作轴,则,
又∵,
∴
∴点的坐标为或.
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【题目】如图,直线与轴交于点,抛物线与轴的一个交点为(点在点的左侧),过点作垂直轴交直线于点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)将绕点顺时针旋转,点的对应点分别为点
①求点的坐标;
②将拋物线向右平移使它经过点,此时得到的抛物线记为,求出抛物线的函数表达式.
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【题目】定义:圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦.阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC组成圆的折弦,AB>BC,M是弧ABC的中点,MF⊥AB于F,则AF=FB+BC.
如图2,△ABC中,∠ABC=60°,AB=8,BC=6,D是AB上一点,BD=1,作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E,连接EA,则∠EAC=_____°.
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【题目】如图,⊙O的半径为2,圆心O在坐标原点,正方形ABCD的边长为2,点A、B在第二象限,点C、D在⊙O上,且点D的坐标为(0,2),现将正方形ABCD绕点C按逆时针方向旋转150°,点B运动到了⊙O上点B1处,点A、D分别运动到了点A1、D1处,即得到正方形A1B1C1D1(点C1与C重合);再将正方形A1B1C1D1绕点B1按逆时针方向旋转150°,点A1运动到了⊙O上点A2处,点D1、C1分别运动到了点D2、C2处,即得到正方形A2B2C2D2(点B2与B1重合),…,按上述方法旋转2020次后,点A2020的坐标为( )
A.(0,2)B.(2+,﹣1)
C.(﹣1﹣,﹣1﹣)D.(1,﹣2﹣)
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【题目】某中学九年级学生步行到郊外春游.一班的学生组成前队,速度为4km/h ,二班的学生组成后队,速度为6km/h .前队出发1h 后,后队才出发,同时,后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络,他骑车的速度为12km/h.若不计队伍的长度,如图,折线ABC ,A-B-C 分别表示后队,联络员在行进过程中,离前队的路程 与后队行进时间x(h) 之间的部分函数图象.
(1) 求线段AB 对应的函数关系式;
(2) 求点E 的坐标,并说明它的实际意义;
(3) 联络员从出发到他折返后第一次与后队相遇的过程中,当x 为何值时,他离前队的路程与他离后队的路程相等?
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【题目】(1)如图1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AP、BP分别平分∠CAB、∠CBA,过点P作DE∥AB交AC于点D,交BC于点E.求证:①点P是线段DE的中点;②求证:BP2=BE·BA;
(2)如图2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=12,BP平分∠ABC,过点P作DE∥AB交AC于点D,交BC于点E,若点P为线段DE的中点,求AD的长度.
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【题目】某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.
(1)若这种冰箱的售价降低50元,每天的利润是 元;
(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到更多的实惠,每台冰箱应降价多少元?
(3)每台冰箱降价多少元时利润最高,并求出最高利润.
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