【题目】如图,直线与轴交于点,抛物线与轴的一个交点为(点在点的左侧),过点作垂直轴交直线于点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)将绕点顺时针旋转,点的对应点分别为点
①求点的坐标;
②将拋物线向右平移使它经过点,此时得到的抛物线记为,求出抛物线的函数表达式.
【答案】(1);(2)①F;②或.
【解析】
(1)由点B的坐标,利用待定系数法即可求出b的值,从而求得抛物线的函数表达式;
(2)利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、点D的坐标,进而可得出BD,AB的值.
①依照题意画出图形,由EF=BD=2,OF=AE=AB=1可得出点F在y轴正半轴上,进而可求出点F的坐标;
②利用配方程法将抛物线C1的表达式变形为顶点式,根据平移的性质可设抛物线C2的表达式为y=(x+m)21,由点F的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线C2的表达式,此题得解.
把点代入,
得:,解得,
抛物线的函数表达式为;
与轴交于点,
,
当时,,
点的坐标为,
.
①依照题意画出图形,
则,
又点的坐标为
点在轴正半轴上,
点的坐标为,
②,
设平移后得到的抛物线的表达式为
将代入,
得:,
解得:,
抛物线的表达式为或.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,动点E从点A出发沿着线段AB向终点B运动,速度为每秒3个单位长度,过点E作EF⊥AB交直线AC于点F,连结CE.设点E的运动时间为t秒.
(1)当点F在线段AC上(不含端点)时,
①求证:△ABC∽△AFE;
②当t为何值时,△CEF的面积为1.2;
(2)在运动过程中,是否存在某时刻t,使△CEF为等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线:和直线:,点和均在直线上.
(1)求直线的解析式;
(2)若抛物线过点,且抛物线与线段有两个不同的交点,求的取值范围;
(3)将直线下移2个单位得到直线,直线与抛物线:交于、两点,若点的横坐标为,点的横坐标为,当,时,求的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(﹣1,3)、(﹣4,1)、(﹣2,1),先将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1,点B的对应点B1的坐标是(1,2),再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2,点A1的对应点为点A2.
(1)画出△A1B1C1和△A2B2C2;
(2)求出在这两次变换过程中,点A经过点A1到达A2的路径总长;
(3)求线段B1C1旋转到B2C2所扫过的图形的面积.
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【题目】学校与图书馆在同一条笔直道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地.两人之间的距离y(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示.
(1)根据图象信息,当t= 分钟时甲乙两人相遇,甲的速度为 米/分钟,乙的速度为 米/分钟;
(2)图中点A的坐标为 ;
(3)求线段AB所直线的函数表达式;
(4)在整个过程中,何时两人相距400米?
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知四边形DOBC是矩形,且D(0,4),B(6,0).若反比例函数(x>0)的图象经过线段OC的中点A,交DC于点E,交BC于点F.设直线EF的解析式为y2=k2x+b.
(1)求反比例函数和直线EF的解析式;
(温馨提示:平面上有任意两点M(x1,y1)、N(x2,y2),它们连线的中点P的坐标为( ))(2)求△OEF的面积;
(3)请结合图象直接写出不等式k2x -b﹣>0的解集.
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【题目】如图1,抛物线过点,,点为直线下方抛物线上一动点,为抛物线顶点,抛物线对称轴与直线交于点.
(1)求抛物线的表达式与顶点的坐标;
(2)在直线上是否存在点,使得,,,为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请求出点坐标;
(3)在轴上是否存在点,使?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在“飞镖形”ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)“飞镖形”ABCD满足条件 时,四边形EFGH是菱形.
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