【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知四边形DOBC是矩形,且D(0,4),B(6,0).若反比例函数(x>0)的图象经过线段OC的中点A,交DC于点E,交BC于点F.设直线EF的解析式为y2=k2x+b.
(1)求反比例函数和直线EF的解析式;
(温馨提示:平面上有任意两点M(x1,y1)、N(x2,y2),它们连线的中点P的坐标为( ))(2)求△OEF的面积;
(3)请结合图象直接写出不等式k2x -b﹣>0的解集.
【答案】(1)(2)(3)x<-6或-1.5<x<0
【解析】
(1)根据点A是OC的中点,可得A(3,2),可得反比例函数解析式为y1=,根据E(,4),F(6,1),运用待定系数法即可得到直线EF的解析式为y=-x+5;
(2)过点E作EG⊥OB于G,根据点E,F都在反比例函数y1=的图象上,可得S△EOG=S△OBF,再根据S△EOF=S梯形EFBG进行计算即可;
(3)根据点E,F关于原点对称的点的坐标分别为(-1.5,-4),(-6,-1),可得不等式k2x-b->0的解集为:x<-6或-1.5<x<0.
(1)∵D(0,4),B(6,0),
∴C(6,4),
∵点A是OC的中点,
∴A(3,2),
把A(3,2)代入反比例函数y1=,可得k1=6,
∴反比例函数解析式为y1=,
把x=6代入y1=,可得y=1,则F(6,1),
把y=4代入y1=,可得x=,则E(,4),
把E(,4),F(6,1)代入y2=k2x+b,可得
,解得,
∴直线EF的解析式为y=-x+5;
(2)如图,过点E作EG⊥OB于G,
∵点E,F都在反比例函数y1=的图象上,
∴S△EOG=S△OBF,
∴S△EOF=S梯形EFBG=(1+4)×=;
(3)由图象可得,点E,F关于原点对称的点的坐标分别为(-1.5,-4),(-6,-1),
∴由图象可得,不等式k2x-b->0的解集为:x<-6或-1.5<x<0.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线y=x+4经过A,C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在AC上方的抛物线上有一动点P.
①如图1,当点P运动到某位置时,以AP,AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上,求出此时点P的坐标;
②如图2,过点O,P的直线y=kx交AC于点E,若PE:OE=3:8,求k的值.
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【题目】某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验.如图,两台测角仪分别放在A、B位置,且离地面高均为1米(即米),两台测角仪相距50米(即AB=50米).在某一时刻无人机位于点C (点C与点A、B在同一平面内),A处测得其仰角为,B处测得其仰角为.(参考数据:,,,,)
(1)求该时刻无人机的离地高度;(单位:米,结果保留整数)
(2)无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F(点F与点A、B、C在同一平面内),此时于A处测得无人机的仰角为,求无人机水平飞行的平均速度.(单位:米/秒,结果保留整数)
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【题目】如图,直线与轴交于点,抛物线与轴的一个交点为(点在点的左侧),过点作垂直轴交直线于点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)将绕点顺时针旋转,点的对应点分别为点
①求点的坐标;
②将拋物线向右平移使它经过点,此时得到的抛物线记为,求出抛物线的函数表达式.
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【题目】如图所示,二次函数y=k(x﹣1)2+2的图象与一次函数y=kx﹣k+2的图象交于A、B两点,点B在点A的右侧,直线AB分别与x、y轴交于C、D两点,其中k<0.
(1)求A、B两点的横坐标;
(2)若△OAB是以OA为腰的等腰三角形,求k的值;
(3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数k,使得∠ODC=2∠BEC,若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
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【题目】定义:圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦.阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC组成圆的折弦,AB>BC,M是弧ABC的中点,MF⊥AB于F,则AF=FB+BC.
如图2,△ABC中,∠ABC=60°,AB=8,BC=6,D是AB上一点,BD=1,作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E,连接EA,则∠EAC=_____°.
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【题目】如图,⊙O的半径为2,圆心O在坐标原点,正方形ABCD的边长为2,点A、B在第二象限,点C、D在⊙O上,且点D的坐标为(0,2),现将正方形ABCD绕点C按逆时针方向旋转150°,点B运动到了⊙O上点B1处,点A、D分别运动到了点A1、D1处,即得到正方形A1B1C1D1(点C1与C重合);再将正方形A1B1C1D1绕点B1按逆时针方向旋转150°,点A1运动到了⊙O上点A2处,点D1、C1分别运动到了点D2、C2处,即得到正方形A2B2C2D2(点B2与B1重合),…,按上述方法旋转2020次后,点A2020的坐标为( )
A.(0,2)B.(2+,﹣1)
C.(﹣1﹣,﹣1﹣)D.(1,﹣2﹣)
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【题目】(1)如图1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AP、BP分别平分∠CAB、∠CBA,过点P作DE∥AB交AC于点D,交BC于点E.求证:①点P是线段DE的中点;②求证:BP2=BE·BA;
(2)如图2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=12,BP平分∠ABC,过点P作DE∥AB交AC于点D,交BC于点E,若点P为线段DE的中点,求AD的长度.
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【题目】如图,在中,,,点为直线上一点,点为延长线上一点,且,连结、、.
(1)求证:;
(2)若,求的度数.
(3)若点是的外心,当点在直线的一个位置运动到另一个位置时,点恰好在的内部,请直接写出点走过的距离为_____.
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