Question

【题目】如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．

（1）求A、B两点的横坐标；

（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；

（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）1，2；（2）﹣1或﹣2或﹣3；（3）存在， 或．

【解析】

（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，然后求解进一步得出答案即可；

（2）分两种情况：①OA=AB；②OA=OB，据此分类讨论即可；

（3）分两种情况：①当点B在x轴上方时；②当点B在x轴下方时，据此分类讨论即可.

解：（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，

解得：x＝1或2，

故点A、B的坐标横坐标分别为1和2；

（2）OA＝，

①当OA＝AB时，

即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）；

②当OA＝OB时，

4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1或﹣3；

故k的值为：﹣1或﹣2或﹣3；

（3）存在，理由：

①当点B在x轴上方时，

过点B作BH⊥AE于点H，将△AHB的图形放大见右侧图形，

过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M，过点M作MN⊥AB于点N，过点B作BK⊥x轴于点K，

图中：点A（1，2）、点B（2，k+2），则AH＝﹣k，HB＝1，

设： HM＝m＝MN，则BM＝1﹣m，

则AN＝AH＝﹣k，AB＝，NB＝AB﹣AN，

由勾股定理得：MB2＝NB2+MN2，

即：（1﹣m）2＝m2+（+k）2，

解得：m＝﹣k2﹣k，

在△AHM中，tanα＝＝＝k+＝tan∠BEC＝＝k+2，

解得：k＝，

此时k+2＞0，则﹣2＜k＜0，故：舍去正值，

故k＝﹣；

②当点B在x轴下方时，

同理可得：tanα＝＝＝k+＝tan∠BEC＝＝＝-（k+2），

解得：k＝或，

此时k+2＜0，k＜﹣2，故舍去，

故k的值为：﹣或．