Question

11．如图，在四边形ABCD中，AB=AC，DB⊥AB，DC⊥AC，且E，F，G，H分别为AB，AC，CD，BD的中点．
（1）求证：EH=FG；
（2）连接AD，BC交于点O，则AD，BC有何关系，证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）如图，连接AD，利用三角形中位线定理证得结论；
（2）利用全等三角形的判定定理HL证得Rt△ABD≌Rt△ACD，则其对应角相等：∠BAD=∠CAD，由等腰△ABC“三线合一”的性质推知AO⊥BC，即AD⊥BC．

解答 （1）证明：如图，连接AD．
∵E，H分别为AB，BD的中点，
∴EH是△BAD的中位线，
∴EH=$\frac{1}{2}$AD．
同理，FG是△ACD的中位线，
∴FG=$\frac{1}{2}$AD．
∴EH=FG；

（2）AD⊥BC．理由如下：
∵DB⊥AB，DC⊥AC，
∴∠ABD=∠ACD=90°．
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
∴∠BAD=∠CAD，
∴OA⊥BC，则AD⊥BC．

点评 此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．