Question

如图，在抛物线中， 抛物线顶点为B，与y轴交于点A，点E为线段AB中点，点C（0，m）是y轴负半轴上一动点，线段EC与线段BO相交于F，且OC：OF=2：。

（1）求m的值；

（2）动点P从B点出发，沿x轴反方向匀速运动，点P运动到什么位置时（即BP长为多少），将△ABP沿边PE折叠，△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的，求此时点P的坐标。

Answer 1

解：（1）∵，

∴B（，0）、A（0，2）、E（，1）。

∵CO：OF=2：，

∴CO=﹣m，FO=m，。

∵，

∴。

整理得：m²+m=0。∴m=﹣1或0 。

∵m＜0，∴m=﹣1。

（2）在Rt△ABO中，，

∴∠ABO=30°，AB=2AO=4。

①当∠BPE＞∠APE时，连接A₁B，则对折后如图1，A₁为对折后A的所落点，△EHP是重叠部分。

③当∠BPE＜∠APE时．则对折后如图2，A₁为对折后A的所落点，△EHP是重叠部分。

∵E为AB中点，∴S_△AEP=S_△BEP=S_△ABP。

∵S_△EHP=S_△ABP，∴S_△EBH=S_△EHP=₌S_△ABP。

∴BH=HP，EH=HA₁=1。

又∵BE=EA=2，∴EHAP。∴AP=2。

在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2，

∴∠APB=90°。∴BP=。∴点P的坐标为（）。

综上所述，点P的坐标为（）或（）。

【考点】二次函数综合题，折叠和单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的判定和性质，二次函数的性质，折叠的性质，分类思想和转换思想的应用。