如图.已知菱形ABCD的边长为4.∠A=60°.对称中心为点P.点F为BC边上一个动点.点E在AB边上.且满足条件∠EPF=60°.图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称.设它们的面积和为S1． (1)求证:∠APE=∠CFP, (2)设四边形CMPF的面积为S2.CF=x.． ①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围.并求出y的最大值, ②当图中两块阴影部� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=60°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S₁．

（1）求证：∠APE=∠CFP；

（2）设四边形CMPF的面积为S₂，CF=x，．

①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；

②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．

解：（1）∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形。∴∠BAC=∠ACB=60°。

∴∠CFP+∠FPC=180°－60°=120°。

又∵∠EPF=60°，∴∠APE+∠FPC=180°－60°=120°。

∴∠APE=∠CFP。

（2）①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=60°，∴△APE∽△CPF，∴。

∵菱形ABCD的边长为4，△ABC是等边三角形，∴AC=4。

又∵P为菱形的对称中心，∴AP=CP=2。

∴，即。

如图，过点P作PH⊥BC于点H，PG⊥AB于点G，

∵AP=CP=2，∠GAP=∠HCP=60°，且PH=PG=。

∴，，。

②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，而此两块图形也关于直线AC成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线BD对称，

则EB=BF，即AE=FC，∴=x，解得x=2，

代入，得。

【考点】单动点问题，菱形的性质，轴对称和中心对称的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，由实际问题列函数关系式，二次函数的最值，转换思想的应用。

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科目：初中数学 来源： 题型：

阅读下列材料：

小华遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,∠ACB=30º,BC=6,AC=5,在△ABC内部有一点P,连接PA.PB.PC,求PA+PB+PC的最小值．

小华是这样思考的：要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折.旋转.平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是,如图2,将△APC绕点C顺时针旋转60º,得到△EDC,连接PD.BE,则BE的长即为所求．

（1）请你写出图2中,PA+PB+PC的最小值为 ;

（2）参考小华的思考问题的方法,解决下列问题：

①如图3,菱形ABCD中,∠ABC=60º,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹,画出一条即可）;

②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．