Question

2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，其中点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），点D为对角线OB上一个动点（不包括端点），∠BCD的平分线交OB于点E．
（1）求线段OB所在直线的函数表达式，并写出CD的取值范围．
（2）当∠BCD的平分线经过点A时，求点D的坐标．
（3）点P是线段BC上的一个动点，求CD十DP的最小值．

Answer 1

分析 （1）设线段OB所在直线的函数表达式为y=kx，把B（4，2）代入求出k即可解决问题．
（2）如图1中，延长CD交OA于点F，设AF=CF=m，则OF=4-m，由OF²+OC²=CF²，列出方程求出m，求出直线CF的解析式，解方程组即可解决问题．
（3）如图2中，作点C关于直线OB的对称点F，作FP⊥BC，交OB于D，垂足为P，则点P、D就是所求的点，此时DC+DP=DF+PD=FP最短，求出点F坐标即可解决问题．

解答 解：（1）设线段OB所在直线的函数表达式为y=kx，
把B（4，2）代入，得2=4k，解得k=$\frac{1}{2}$，
∴线段OB所在直线的函数表达式为y=$\frac{1}{2}$x．
CD的范围：$\frac{4\sqrt{5}}{5}$≤CD＜4．

（2）如图1中，延长CD交OA于点F，

∵∠ACF=∠ACB=∠CAF，
∴AF=CF，设AF=CF=m，则OF=4-m，
∵OF²+OC²=CF²，
∴（4-m）²+2²=m²，解得m=$\frac{5}{2}$，
∴OF=$\frac{3}{2}$
∴直线CF的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{4}{3}x+2}\end{array}\right.$解得，
∴点D坐标（$\frac{12}{11}$，$\frac{6}{11}$）．

（3）如图2中，作点C关于直线OB的对称点F，作FP⊥BC，交OB于D，垂足为P，则点P、D就是所求的点，此时DC+DP=DF+PD=FP最短（垂线段最短）．

∵直线OB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，CF⊥OB，
∴可以设直线CF的解析式为y=-2x+b，把C（0，2）代入得b=2，
∴直线CF解析式为y=-2x+2，设直线CF交OB于点E，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-2x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}}\\{y=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，
∴点E坐标（$\frac{4}{5}$，$\frac{2}{5}$），
∵C、F关于点E对称，
∴点F坐标（$\frac{8}{5}$，-$\frac{6}{5}$），
∴CD+PD最小值=PF=2+$\frac{6}{5}$=$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查四边形综合题、一次函数、矩形的性质、待定系数法勾股定理、最小值问题等知识，解题的关键是学会构建函数，利用方程组求交点坐标，想到利用垂线段最短解决最小值问题，属于中考压轴题．