Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ、DP交于点O，并分别与边CD、BC交于点F、E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OEOP；③S△AOD＜S四边形OECF；④当BP＝1时，tan∠OAE＝，其中正确结论的是_____．（请将正确结论的序号填写在横线上）

Answer 1

【答案】①④

【解析】

由四边形ABCD是正方形可得 AD＝BC、∠DAB＝∠ABC＝90°，再根据全等三角形的性质可得∠P＝∠Q，最后根据余角的性质可得AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质可得AO2＝ODOP，由OD≠OE，得到OA2≠OEOP；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF=BE，DF=CE，则S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD＝S四边形OECF；故③错误；根据相似三角形的性质可得BE＝，求得QE＝，QO＝，OE＝，最后由三角函数的定义即可得到结论．

解：①∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，

∵BP＝CQ，

∴AP＝BQ，

在△DAP与△ABQ中，

，

∴△DAP≌△ABQ（SAS），

∴∠P＝∠Q，

∵∠Q+∠QAB＝90°，

∴∠P+∠QAB＝90°，

∴∠AOP＝90°，

∴AQ⊥DP，故①正确；

②∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，

∴∠DAO＝∠P，

∴△DAO∽△APO，

∴，

∴AO2＝ODOP，

∵AE＞AB，

∴AE＞AD，

∴OD≠OE，

∴OA2≠OEOP；故②错误；

③在△CQF与△BPE中

，

∴△CQF≌△BPE（ASA），

∴CF＝BE，

∴DF＝CE，

在△ADF与△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，

即S△AOD=S四边形OECF；故③错误；

④∵BP＝1，AB＝3，

∴AP＝4，

∵△PBE∽△PAD，

∴，

∴BE＝，

∴QE＝，

∵△QOE∽△PAD，

∴＝，

∴QO＝，OE＝，

∴AO＝5﹣QO＝，

∴tan∠OAE＝，故④正确，

故答案为：①④．