精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
(本题满分12分)提出问题:如图,有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕(,且),在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力,小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分(要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样).
背景介绍:这条分割直线即平分了三角形的面积,又平分了三角形的周长,我们称这条线为三角 形的“等分积周线”.
尝试解决:
 (1)小明很快就想到了一条分割直线,而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”,从而平分蛋糕.
(2) 小华觉得小明的方法很好,所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CDAB于点D.你觉得小华会成功吗?如能成功,说出确定的方法;如不能成功,请说明理由.
(3)通过上面的实践,你一定有了更深刻的认识.请你解决下面的问题:若ABBC=5 cm,AC=6 cm,请你找出△ABC的所有“等分积周线”,并简要的说明确定的方法.

解:(1) 作线段AC的中垂线BD即可.………………………………………………2分
(2) 小华不会成功.
若直线CD平分△ABC的面积
那么
   
…………………………………………………………………4分


∴ 小华不会成功.………………………………………………………………5分
(3)① 若直线经过顶点,则AC边上的中垂线即为所求线段.……………………6分
② 若直线不过顶点,可分以下三种情况:
(a)直线与BC、AC分别交于E、F,如图所示
过点E作EH⊥AC于点H,过点B作BG⊥AC于点G
易求,BG=4,AG=CG=3
设CF=x,则CE=8-x
由△CEH∽△CBG,可得EH=
根据面积相等,可得……………………………7分
(舍去,即为①)或
∴ CF=5,CE=3,直线EF即为所求直线.……………………………8分
(b)直线与AB、AC分别交于M、N, 如图所示
由 (a)可得,AM=3,AN=5,直线MN即为所求直线.
(仿照上面给分)
(c) 直线与AB、BC分别交于P、Q,如图所示
过点A作AY⊥BC于点Y,过点P作PX⊥BC于点X
由面积法可得, AY=
设BP=x,则BQ=8-x
由相似,可得PX= 
根据面积相等,可得………………………………………11分
(舍去)或
而当BP时,BQ=,舍去.
∴ 此种情况不存在.……………………………………………12分
综上所述,符合条件的直线共有三条.
(注:若直接按与两边相交的情况分类,也相应给分)
 略
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,△ABC中,AD⊥BC于D,且有下列条件:
(1)∠B+∠DAC=90°;(2)∠B=∠DAC;
(3);   (4)AB2=BD·BC
其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有………………………………(  )
A.3个B.2个C.1个D.0个

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

题背景:如图1,四边形ABCD和CEFG都是正方形,B,C,E在同一条直线上,连接BG,DE.

问题探究:
小题1:(1)①如图1所示,当G在CD边上时,猜想线段BG、DE的数量关系及所在直线的位置关系.(不要求证明)
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图2,如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,请选择图2或图3证明你的判断.
类比研究:
小题2:(2)若将原题中的“正方形”改为“矩形”(如图所示),且=k(其中k>0),请写出 线段BG、DE的数量关系及位置关系.请选择图5或图6证明你的判断(仅证数量关系).
拓展应用:
小题3:(3)在(1)中图2中,连接DG、BE,若AB=3,EF=2,求BE2+DG2的值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

 如图,若A、B、C、D、E,甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点,为使相似,则点F应是甲、乙、丙、丁四点中的(  ).

A、甲      B、乙      C、丙      D、丁

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,在△ABC中,DEAB分别交ACBC于点DE,若AD=2,CD=3,则△CDE与△CAB的面积的比为        

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题


查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,在中,,且,则等于(  )
A.10B.16
C.12D.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

下列长度的各组线段中,能构成比例的是         (  )    
A.2,5,6,8;B.3,6,9,18;C.1,2,3,4;D.3,6,7,9.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

(本题8分)如图,点D、E分别在AC、BC上,如果测得CD=20m,CE=40m,AD=100m,BE=20m,DE=45m,

(1)△ABC与△EDC相似吗?为什么?(2)求A、B两地间的距离。

查看答案和解析>>

同步练习册答案