Question

3．如图，已知△OAB的顶点A（-6，0），B（0，2），O是坐标原点，将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC．抛物线y=ax²+bx+c经过A，D，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点A出发，以每秒$\sqrt{2}$个单位的速度沿射线AD运动，过点P作PH垂直射线CD，垂足为H，PH交y轴于F，设DF的长度为d（d≠0），运动时间为t，求d与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，E为抛物线的顶点，连接BC、AE，当△APE与△ABC相似时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据A、D、C的坐标用待定系数法求解析式．
（2）先求出直线CD，再求出直线PH得到点F的坐标，分0＜t≤6和t＞6两种情形讨论．
（3）先证明∠EAP=∠BAC，再分两种情形讨论：①当$\frac{AE}{AC}=\frac{A{P}_{1}}{AB}$时，△ABC∽△AP₁E，②当$\frac{AE}{AB}=\frac{A{P}_{2}}{AC}$时，△AEP₂∽△ABC，分别列出方程求解．

解答 解：（1）由题意D（0，6），C（2，0），A（-6，0），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过A，D，C三点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=6}\\{4a+2b+c=0}\\{36a-6b+c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-2}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-2x+6．
（2）设直线CD为y+kx+b，
∵经过D（0，6），C（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线CD为y=-3x+6，设P（m，m+6），直线PH为：y=$\frac{1}{3}$x+b′，
∴m+6=$\frac{1}{3}$m+b′，
∴b′=$\frac{2}{3}$m+6，
∴直线PH为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$m+6，
∴点F（0，$\frac{2}{3}$m+6）
∴当0＜t≤6时，d=OD-OF=6-（$\frac{2}{3}m+6$）=-$\frac{2}{3}$m，
当t＞6时，d=OF-OD=$\frac{2}{3}$m+6-6=$\frac{2}{3}$m．
（3）如图作EK⊥OD垂足为K，
∵抛物线顶点E（2，8），
∴EK=BO=2，BK=AO=6，
在△BEK和△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{EK=BO}\\{∠EKB=∠AOB}\\{BK=AO}\end{array}\right.$，
∴△BEK≌△ABO，
∴EB=AB，∠EBK=∠BAO，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠EBK+∠ABO=90°，
∴∠EBA=90°，AE$\frac{AE}{AB}=\frac{A{P}_{2}}{AC}$
∴∠EAB=∠AEB=∠DAO=45°，
∴∠EAP=∠BAC，
①当$\frac{AE}{AC}=\frac{A{P}_{1}}{AB}$时，△ABC∽△AP₁E，
∴$\frac{4\sqrt{5}}{8}=\frac{\sqrt{2}t}{2\sqrt{10}}$，
∴t=5，
②当$\frac{AE}{AB}=\frac{A{P}_{2}}{AC}$时，△AEP₂∽△ABC，
∴$\frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}t}{8}$，
∴t=8．
∴t=5或8秒时，△APE与△ABC相似．

点评 本题考查用待定系数法确定抛物线的解析式、一次函数的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，综合性强，难度适中，通过此题的训练可以提高综合运用知识的能力．