Question

有边长为1的等边△ABC和顶角为120°的等腰△DBC，以D为顶点作60°的角，两边分别交于AB、AC于M、N，连结MN，求△AMN的周长？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,等边三角形的性质

专题：

分析：要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．

解答：解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠DBC=30°，
∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，
∴∠DBA=∠DCA=90°，
延长AB至F，使BF=CN，连接DF，
在△BDF和△CND中，
∵

BF=CN ∠FBD=∠DCN DB=DC

，
∴△BDF≌△CND（SAS），
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，
∵∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠CDN=60°，
∴∠BDM+∠BDF=60°，
在△DMN和△DMF中，
∵

DM=MD ∠FDM=∠MDN DF=D

，
∴△DMN≌△DMF（SAS）
∴MN=MF，
∴△AMN的周长是：
AM+AN+MN
=AM+MB+BF+AN
=AB+AC
=1+1
=2．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键，注意：三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．