Question

如图，抛物线y=x²-2x-3与直线y=-x+b交于A，C两点，与x轴交于点A，B．点P为直线AC下方抛物线上的一个动点（不包括点A和点C），过点P作PN⊥AB交AC与点M，垂足为N，连接AP，CP．设点P的横坐标为m．
（1）求b的值；
（2）用含m的代数式表示线段PM的长并写出m的取值范围；
（3）求△PAC的面积S关于m的函数解析式，并求使得△APC面积最大时，点P的坐标；
（4）直接写出当△CMP为等腰三角形时点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）抛物线解析式令y=0求出方程的解，确定出A与B坐标，把A坐标代入直线解析式求出b的值即可；
（2）把P横坐标m代入抛物线解析式表示出NP，代入直线解析式表示出MN，由NP-MN表示出MP，并求出x的取值范围；
（3）过C作CE⊥x轴，S_△APC=S_△AMP+S_△CMP，根据AE为定值，得到MP最大时，S_△APC最大，利用二次函数的性质求出此时m的值，进而确定出P坐标；
（4）分三种情况考虑：MC=PC；MP=MC；PM=PC时，分别求出满足题意的点P的坐标即可．

解答：解：（1）令x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
即A=（-1，0），B（3，0），
把A（-1，0）代入y=-x+b，得b=-1，
则一次函数解析式为y=-x-1；

（2）把x=m代入抛物线解析式得：y=m²-2m-3，
把x=m代入直线解析式得：y=-m-1，
∴NP=-（m²-2m-3），MN=-（-m-1），
∴MP=NP-NM=-（m²-2m-3）+（-m-1）=-m²+m+2，
m的取值范围是-1＜m＜2；

（3）过点作CE⊥AB于点E，
则S_△APC=S_△AMP+S_△CMP=

1

2

MP•AN+

1

2

MP•NE=

1

2

MP•AE=-

3

2

m²+

3

2

m+3，
∵-1＜0，开口向下，
∴当m=-

b

2a

=

1

2

时，S_△APC面积最大，
此时P（

1

2

，-

15

4

）；

（4）分三种情况：①当P为抛物线顶点时，
此时MC=PC，△CMP为等腰三角形，
P点坐标为P₁（1，-4）；
②当P为C关于抛物线对称轴对称的点时，
此时MP=MC时，△CMP为等腰三角形，
∵点C（2，-3），对称轴为：x=1，
∴点P坐标为P₂（0，-3）；
③当P为MC的垂直平分线上点时，
此时PM=PC，△CMP为等腰三角形，
P₃（

2

-1，2-4

2

）．

点评：本题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数与x轴的交点，一次函数与二次函数图象的交点，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．