Question

设a，b是实数，且有

2

1+a

-

1

1+b

=

1

2b-a+1

，则

1+b

1+a

的值等于

 

．

Answer 1

考点：分式的加减法,解一元二次方程-公式法,解分式方程

专题：换元法

分析：由于待求的分式与已知等式中都有1+a和1+b，而2b-a+1又可转化为2（1+b）-（1+a），因此可把1+a和1+b作为整体考虑，将等式变形，然后运用换元法就可解决问题．

解答：解：2b-a+1=2（1+b）-（1+a）．
将等式的两边同乘以2（1+b）-（1+a）得：

4(1+b)-2(1+a)

1+a

-

2(1+b)-(1+a)

1+b

=1．
即

4(1+b)

1+a

-2-2+

1+a

1+b

=1．
整理得：

4(1+b)

1+a

+

1+a

1+b

-5=0．
设

1+b

1+a

=x，则原方程可化为：4x+

1

x

-5=0．
去分母并整理得：4x²-5x+1=0．
解得：x₁=

1

4

，x₂=1．
经检验：x₁=

1

4

，x₂=1都是方程4x+

1

x

-5=0的解．
∴

1+b

1+a

的值为

1

4

或1．
故答案为：

1

4

或1．

点评：本题考查了等式的性质、解分式方程、解一元二次方程等知识，还考查了换元法，并渗透了整体思想和转化思想，有一定的难度．