Question

7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠C=30°，CD=2$\sqrt{3}$．则阴影部分的面积S_阴影=$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 根据垂径定理求得CE=ED=$\sqrt{3}$，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S_阴影=S_扇形ODA-S_△DOE+S_△AEC．

解答 解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=$\sqrt{3}$，
又∵∠DCA=30°，
∴∠DOE=2∠ACD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE•cot60°=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=1，OD=2OE=2，
∴S_阴影=S_扇形ODA-S_△DOE+S_△AEC=$\frac{60π×O{C}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$OE×ED+$\frac{1}{2}$AE•EC=$\frac{2π}{3}$-$\frac{1}{3}\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}\sqrt{3}$=$\frac{2π}{3}$．
故答案为$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．