Question

已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y；

（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（2）当AP=4时，求∠EBP的正切值；

（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．

Answer 1

              解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=2，AD=BC=5，∠A=∠D=90°，AD∥BC，

∴∠APB=∠PBC．

∵∠ABE=∠CBP，

∴∠ABM=∠APB．

又∵∠A=∠A，

∴△ABM∽△APB，

∴=，

∴=，

∴y=x﹣．

∵P是边AD上的一动点，

∴0≤x≤5．

∵y＞0，

∴x﹣＞0，

∴x＞2，

∴函数的定义域为2＜x≤5；

（2）过点M作MH⊥BP于H，如图．

∵AP=x=4，∴y=x﹣=3，

∴MP=3，AM=1，

∴BM==，BP==2．

∵S_△BMP=MP•AB=BP•MH，

∴MH==，

∴BH==，

∴tan∠EBP==；

（3）①若EB=EC，

则有∠EBC=∠ECB．

∵AD∥BC，

∴∠AMB=∠EBC，∠DPC=∠ECB，

∴∠AMB=∠DPC．

在△AMB和△DPC中，

，

∴△AMB≌△DPC，

∴AM=DP，

∴x﹣y=5﹣x，

∴y=2x﹣5，

∴x﹣=2x﹣5，

解得：x₁=1，x₂=4．

∵2＜x≤5，

∴AP=x=4；

②若CE=CB，

则∠EBC=∠E．

∵AD∥BC，

∴∠EMP=∠EBC=∠E，

∴PE=PM=y，

∴PC=EC﹣EP=5﹣y，

∴在Rt△DPC中，

（5﹣y）²﹣（5﹣x）²=2²，

∴（10﹣x﹣y）（x﹣y）=4，

∴（10﹣x﹣x+）（x﹣x+）=4，

整理得：3x²﹣10x﹣4=0，

解得：x₃=，x₄=（舍负）．

∴AP=x=．

终上所述：AP的值为4或．