Question

如图是反比例函数y=（x＞0）的图象，点C的坐标为（0，2），若点A是函数y=图象上一点，点B是x轴正半轴上一点，当△ABC是等腰直角三角形时，点B的坐标为________．

Answer 1

（4，0）或（，0）或（-1+，0）
分析：分∠CAB是直角，∠ACB是直角，∠ABC是直角三种情况进行讨论．
当∠CAB=90°时，作AE⊥x轴于E点，作AD⊥y轴于D点．则易证△ADC≌△AEB，可以得到A的横纵坐标相等，求得A的坐标，则BE=CD，从而求得OB的长度，得到B的坐标；
当∠ACB=90°时，作AD⊥y轴于D，易证△ACD≌△CBO，则A的横坐标可以求得，进而求得A的纵坐标，根据OB=CD，则B的坐标可以得到；
当∠ABC=90°时，作AD⊥x轴，则△OBC≌△BAD，BD=OC=2，OB=AD，设OB=AD=x，则OD=x+2，则A的坐标是（x+2，x），代入y=，求得x的值，得到B的坐标．
解答：解：1）当∠CAB=90°时，如图（1），作AE⊥x轴于E点，作AD⊥y轴于D点．则∠DAE=90°，
∵∠DAE=∠CAB=90°，
∴∠DAC=∠EAB，
在△ADC和△AED中：
∵
∴△ADC≌△AEB
∴AD=AE，BE=CD
则A的横坐标与纵坐标相等，设A的坐标是（a，a），代入函数解析式得：a=，解得：a=3或-3（舍去）．
则A的坐标是（3，3）．
∴OD=3，CD=OD-OC=3-2=1，
∴BE=CD=1，OB=OE+BE=3+1=4，
则B的坐标是（4，0）；
2）当∠ACB=90°时，如图（2），作AD⊥y轴于D．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCO=90°，
又∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠BCO
在△ACD和△CBO中，
∵
∴△ACD≌△CBO，
∴AD=OC=2，
则A的横坐标是2，把x=2代入y=得：y=，
∴OD=，CD=OD-OC=-2=，
∴OB=CD=，则B的坐标是（，0）；
3）当∠ABC=90°时，如图（3），作AD⊥x轴，
同（2）可以证得：△OBC≌△BAD，
∴BD=OC=2，OB=AD，
设OB=AD=x，
则OD=x+2，
则A的坐标是（x+2，x），代入y=，得：x=，解得：x=-1+或-1-（舍去），
则B的坐标是（-1+，0）．
则B的坐标是：（4，0）或（，0）或（-1+，0）．
故答案是：（4，0）或（，0）或（-1+，0）．
点评：本题考查了反比例函数与三角形的全等的综合应用，正确作出辅助线，得到三角形全等是关键．