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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度精英家教网移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．
    （1）如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2；
    （2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，并且点P到B点后又继续在BC边上前进，点Q到点C后又继续在CA边上前进，则经过几秒钟后，△PCQ的面积等于12.6cm2．
    分析：（1）设经过x秒后，根据△PBQ的面积等于8cm2．得出方程
    1
    2
    ×（6-x）×2x=8，求出方程的解即可；
    （2）设经过y秒后，△PCQ的面积等于12.6cm2．那么可分以下情况讨论设经过y秒后，△PCQ的面积等于12.6cm2．
    （1）0＜y≤4（Q在BC上，P在AB上）时，连接PC，求出CQ=8-2y，PB=6-y，根据三角形的面积公式得出
    1
    2
    ×（8-2y）×（6-y）=12.6，求出方程的解即可；（2）4＜y≤6（Q在CA上，P在AB上），过点P作PM⊥AC，交AC于点M，求出CQ=2y-8，AP=y，根据sinA=
    BC
    AC
    =
    4
    5
    ，推出
    PM
    y
    =
    4
    5
    ，求出PM=
    4
    5
    y，根据三角形的面积公式求出
    1
    2
    ×（2y-8）×
    4
    5
    y=12.6，求出方程的解即可；（3）6＜y≤9（Q在CA上，P在BC上），过点Q作QD⊥BC，交BC于点D，根据QD∥AB得出
    QD
    AB
    =
    CQ
    AC
    ，代入求出QD=
    6y-24
    5
    ，根据三角形的面积公式得出方程
    1
    2
    ×（14-y）×
    6y-24
    5
    =12.6，求出方程的解即可．
    解答：解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
    1
    2
    ×（6-x）×2x=8，
    解得x1=2 x2=4，
    答：经过2或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．

    （2）设经过y秒后，△PCQ的面积等于12.6cm2．精英家教网
    ①0＜y≤4（Q在BC上，P在AB上）时，如图：（1）连接PC，
    则CQ=8-2y，PB=6-y，
    ∵S△PQC=
    1
    2
    CQ×PB，
    ∴
    1
    2
    ×（8-2y）×（6-y）=12.6，
    解得y1=5+
    		340
    5
    ＞4（不合题意，舍去），y2=5-
    		340
    5
    ；

    ②4＜y≤6（Q在CA上，P在AB上），如图（2）
    过点P作PM⊥AC，交AC于点M，
    由题意可知CQ=2y-8，AP=y，
    在直角三角形ABC中，sinA=
    BC
    AC
    =
    4
    5
    ，
    在直角三角形APM中，sinA=
    PM
    AP
    ，
    即
    PM
    y
    =
    4
    5
    ，
    ∴PM=
    4
    5
    y，
    ∵S△PCQ=
    1
    2
    CQ×PM，
    ∴
    1
    2
    ×（2y-8）×
    4
    5
    y=12.6，
    解得y1=2+
    		79
    2
    ＞6（舍去），y2=2-
    		79
    2
    ＜0（负值舍去）；

    ③6＜y≤9（Q在CA上，P在BC上），如图（3），
    过点Q作QD⊥BC，交BC于点D，
    ∵∠B=90°，
    ∴QD∥AB，
    ∴
    QD
    AB
    =
    CQ
    AC
    ，即
    QD
    6
    =
    2y-8
    10
    ，
    ∴QD=
    6y-24
    5
    ，
    ∵S△CQP=
    1
    2
    ×CP×QD，
    ∴
    1
    2
    ×（14-y）×
    6y-24
    5
    =12.6
    解得：y1=7，y2=11（不合题意，舍去）
    答：当（5-
    2
    		85
    5
    ）秒或7秒后，△PCQ的面积等于12.6cm2
    点评：应注意应先表示出两直角三角形的面积所需要的边和高，然后分情况进行讨论．
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    		2
    cm？
    （2）经过多长时间后，△PCQ面积为15cm2？

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