Question

如图点P是等边△ABC内一点，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△BDC，连接PD．
（1）求证△DPC是等边三角形；
（2）当∠APC=150°时，试判断△DPB的形状，并说明理由；
（3）当∠APB=100°且△DPB是等腰三角形，求∠APC的度数．

Answer 1

考点：等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由旋转的性质可得：PC=DC，∠PCD=∠ACB=60°，即可得△DPC是等边三角形；
（2）由△APC≌△BDC，可得∠BDC=∠APC=150°，由△DPC是等边三角形，可得∠BDP=90°，可判断△DPB的形状是直角三角形；
（3）分三种情况讨论：①PD=PB，②PD=DB，③PB=DB．

解答：解：（1）如图，

由旋转的性质得：△APC≌△BDC，PC=DC，∠PCD=∠ACB，
∵在等边△ABC有∠ACB=60°
∴∠PCD=60°，
∴△DPC是等边三角形；
（2）△DPB是直角三角形．
理由：由旋转有∠BDC=∠APC=150°，
又由（1）△DPC是等边三角形，
∴∠PDC=60°
∴∠BDP=∠BDC-∠PDC=90°，
∴△DPB是直角三角形；
（3）设∠APC=x，则∠BPD=200°-x，∠BDP=x-60°
①若PD=PB，则（200°-x）+2（x-60°）=180°，∴x=100°；
②若PD=DB，则2（200°-x）+（x-60°）=180°，∴x=160°；
③若PB=DB，则200°-x=x-60°，∴x=130°．

点评：此题考查了等边三角形的判定与性质及旋转的性质，注意旋转前后得到的图形是全等图形，对应线段相等，对应角相等．