Question

5．如图，直线AD切⊙O于点D，直线AB经过圆心O，交⊙O于点B、C，CE⊥AD，垂足为E，CE交⊙O于点F，连接CD．
（1）猜想$\widehat{BD}$和$\widehat{FD}$的数量关系，并证明；
（2）若sin∠DCE=$\frac{3}{5}$，CE=8，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）$\widehat{BD}$=$\widehat{FD}$，连接OD，由切线的性质和已知条件证明圆周角∠OCD=∠DCE即可；
（2）连接BD，易求CD的长，再由相等的角则其三角函数值也相等可求出sin∠DCB的值，进而可得到直径BC的长，圆的半径也就求出．

解答 解：（1）$\widehat{BD}$=$\widehat{FD}$，理由如下：
连接OD，
∵直线AD切⊙O于点D，
∴OD⊥AE，
∵CE⊥AD，垂足为E，
∴OD∥CE，
∴∠ODC=∠DCE，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠OCD=∠DCE，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{FD}$；
（2）连接BD，
∵sin∠DCE=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{DE}{CD}=\frac{3}{5}$，
∵CE=8，∠E=90°，
∴CD=10，
∵∠OCD=∠DCE，
∴sin∠DCB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{DC}{BC}=\frac{4}{5}$，
∴BC=$\frac{25}{2}$，
∴⊙O的半径=$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．