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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标是(02),点Cx轴上的一个动点.当点Cx轴上移动时,始终保持ACP是等边三角形(点ACP按逆时针方向排列);当点C移动到点O时,得到等边三角形AOB(此时点P与点B重合)

初步探究

1)写出点B的坐标

2)点Cx轴上移动过程中,当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时,连接BP,求证:AOC≌△ABP

深入探究

3)当点Cx轴上移动时,点P也随之运动.探究点P在怎样的图形上运动,请直接写出结论;

拓展应用

4)点Cx轴上移动过程中,当POB为等腰三角形时,直接写出此时点C的坐标.

【答案】(1)(1)(2)证明见解析;(3)P在过点B且垂直于AB的直线上; (4)C的坐标为:(20)(-0)(-20)C(-20).

【解析】

(1)如图1中,作BHOAH,利用等边三角形的性质,解直角三角形求出BHOH即可得答案;

(2)由等边三角形的性质可得AO=ABAC=AP∠CAP=∠OAB=60°,继而可得∠CAO=∠PAB,利用SAS即可得证;

(3)△AOC△ABP,可得∠ABP=∠AOC=90°,继而可得 P在过点B且垂直于AB的直线上;

(4)4种情况,①点Cx轴正半轴上,点P在第一象限时,BP=OB;②点Cx轴负半轴,点Px轴正半轴时,OP=BP;③点Cx轴负半轴,点P在第四象限时,BP=OB;④点Cx轴负半轴,点Py轴负半轴,针对四种情况分别画出图形并求解即可得.

(1)如图1中,作BH OAH

A(02)

OA=2

△AOB是等边三角形,

OA=OB=AB=2∠BOH=60°

RtOBH中,OH=AH=1BH==

∴B(1)

(2)如图2

△AOB△ACP都是等边三角形,

AO=ABAC=AP∠CAP=∠OAB=60°

∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO

即∠CAO=∠PAB

△AOC△ABP(SAS)

(3)如图2中,∵△AOC△ABP

∠ABP=∠AOC=90°

PBAB

∴点P在过点B且垂直于AB的直线上;

(4)①如图3,当点Cx轴正半轴上,点P在第一象限时,BP=OB=2

∠ABP=90°

AP==2

AC=AP=2

OC=

C(20)

②如图4,当点Cx轴负半轴,点Px轴正半轴时,OP=BP,此时AP垂直平分OB

∴∠OAP=30°

AP=PC=2OP

AO2+OP2=AP2,即22+OP2=4OP2

OP=

OC=

C(-0)

③如图5,当点Cx轴负半轴,点P在第四象限时,BP=OB=2

∠ABP=90°

AP==2

AC=AP=2

OC=

C(-20)

④如图6,当点Cx轴负半轴,点Py轴负半轴时,OP=OB=2

此时AP=2OP=4,∴AC=AP=4

∠AOC=90°OA=2

OC=

C(-20)

综上,点C的坐标为:(20)(-0)(-20)C(-20).

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30

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34

36

y

40

36

32

28

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