Question

如图，边长是5的正方形ABCD内，半径为2的⊙P与边DC和AD相切，⊙Q与⊙P外切于点M，并且⊙Q与边BC和AB相切，EF是两圆的公切线，点E、F分别在AB和BC上，则EF的长等于

 

．

Answer 1

考点：相切两圆的性质,正方形的性质

专题：压轴题

分析：连接BD，根据切线的性质得出圆心P、Q在BD上，设⊙P与正方形的切点为H、G，⊙Q与正方形的切点为I、J，圆Q的半径为r，利用切线长定理和勾股定理求出r=8-5

2

，则BM=

2

r+r=3

2

-2，再根据切线及正方形的性质，证明BM是等腰直角三角形斜边上的中线，得出EF=2BM．

解答：解：连接BD，则圆心P、Q在BD上，设⊙P与正方形的切点为H、G，⊙Q与正方形的切点为I、J，圆Q的半径为r．
∵⊙P分别与DA、DC边相切，
∴PG⊥AD、PH⊥DC，
又∵PG=PH=2，∠ADC=90°，
∴四边形GPHD为正方形，
∴DP=

2

PH=2

2

，
同理，BQ=

2

r．
∵AB=AD=5，
∴DB=5

2

．
∵DP+PQ+BQ=BD，
∴2

2

+（2+r）+

2

r=5

2

，
∴r=8-5

2

，
∴BM=

2

r+r=3

2

-2．
∵EF是两圆的公切线，
∴EF⊥PQ，即EF⊥BD，
又∵∠MBE=∠MBF=45°，
∴∠MEB=∠MFB=45°，
∴BE=BF，
∴EF=2BM=6

2

-4．
故答案为6

2

-4．

点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，切线的性质，勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．通过作辅助线，求出圆Q的半径是解题的关键．