Question

19．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
a²+b²+c²-ab-bc-ac=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]，
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你说明这个等式的正确性．
（2）若a=2014，b=2015，c=2016，求a²+b²+c²-ab-bc-ac的值．
（3）已知实数x，y，z，a满足x+a²=2014，y+a²=2015，z+a²=2016，且xyx=36．求代数式$\frac{x}{yz}$+$\frac{y}{xz}$+$\frac{z}{xy}$-$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{z}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据题目中的式子和完全平方公式可以解答本题；
（2）根据（1）中的结论，将a、b、c的值代入即可解答本题；
（3）根据（1）中的结论，对题目中所求式子变形即可解答本题．

解答 解：（1）a²+b²+c²-ab-bc-ac
=$\frac{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}+{b}^{2}-2bc+{c}^{2}+{a}^{2}-2ac+{c}^{2}}{2}$
=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]；
（2）当a=2014，b=2015，c=2016时，
a²+b²+c²-ab-bc-ac
=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]
=$\frac{1}{2}[（2014-2015）^{2}+（2015-2016）^{2}+（2014-2016）^{2}]$
=3；
（3）∵x+a²=2014，y+a²=2015，z+a²=2016，且xyx=36，
∴$\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}$
=$\frac{x}{\frac{36}{x}}+\frac{y}{\frac{36}{y}}+\frac{z}{\frac{36}{z}}-\frac{yz+xz+xy}{xyz}$
=$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{36}+\frac{{z}^{2}}{36}-\frac{yz+xz+xy}{36}$
=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-yz-xz-xy}{36}$
=$\frac{1}{72}$[（x-y）²+（y-z）²+（x-z）²]
∵x+a²=2014，y+a²=2015，z+a²=2016，
∴x-y=-1，y-z=-1，x-z=-2，
∴原式=$\frac{1}{72}[（-1）^{2}+（-1）^{2}+（-2）^{2}]$=$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用因式分解的方法解答．