Question

4．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是△ABC内一点，BD=8cm，点E和F分别是边AB和BC上的动点，若△DEF周长的最小值是8cm，则∠BAC的度数为（　　）

• A． 45°
• B． 50°
• C． 55°
• D． 60°

Answer 1

分析 如图，作D关于AB的对称点K，D关于BC的对称点M，连接KM交AB于E，交BC于F，连接BK、BM．易知△DEF的周长的最小值即为线段KM的长，由∠DBK=2∠DBA，∠DBM=2∠DBC，推出∠KBM=2∠ABC，因为BD=BK=BM，推出K、D、M在以B为圆心的圆上，由⊙B的半径为8，∠KBM是定值，推出KM是定值=8，推出KM=BK=BM，推出△KBM是等边三角形，由此即可解决问题．

解答 解：如图，作D关于AB的对称点K，D关于BC的对称点M，连接KM交AB于E，交BC于F，连接BK、BM．

易知△DEF的周长的最小值即为线段KM的长，∠DBK=2∠DBA，∠DBM=2∠DBC，
∴∠KBM=2∠ABC，
∵BD=BK=BM，
∴K、D、M在以B为圆心的圆上，
∵⊙B的半径为8，∠KBM是定值，
∴KM是定值=8，
∴KM=BK=BM，
∴△KBM是等边三角形，
∴∠KBM=60°，
∴∠ABC=30°，∵∠ACB=90°，
∴∠BAC=60°，
故选D．

点评 本题考查轴对称-最短问题、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，属于中考选择题中的压轴题．