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在一次数学活动课上,老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动.

1.第一小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作:对折、展平,得折痕EF(如图1);再沿GC折叠,使点B落在EF上的点B'处(如图2),这样能得到∠B'GC的大小,你知道∠B'GC的大小是多少吗?请写出求解过程.

2.第二小组的同学,在一个矩形纸片上按照图3的方式剪下△ABC,其中BA=BC,将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换,每次均移动AC的长度,得到了△CDE、△EFG和△GHI,如图4.已知AH=AI,AC长为a,现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形,已知这个新三角形面积小于15,请你帮助该小组求出a可能的最大整数值.

3.探究活动结束后,老师给大家留下了一道探究题:如图5,已知AA'=BB'=CC'=2,∠AOB'=∠BOC'=∠COA'=60°,请利用图形变换探究S△AOB'+S△BOC'+S△COA'与的大小关系.

 

【答案】

 

1.连接BB',由题意得EF垂直平分BC,故BB'=B'C,由翻折可得,

B'C=BC,∴△BB'C为等边三角形.∴∠B'CB=60°,

(或由三角函数FC:B'C=1:2求出∠B'CB=60°也可以.)

∴∠B'CG=30°,∴∠B'GC=60°………………………………………3分

2.分别取CE、EG、GI的中点P、Q、R,连接DP、FQ、HR、AD、AF、AH,∵△ABC中,BA=BC,根据平移变换的性质,△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形,∴DP⊥CE,FQ⊥EG,HR⊥GI.

在Rt△AHR中,AH=AI=4a,AH2=HR2+AR2,HR2=a2

则DP2=FQ2=HR2=a2

AD2=AP2+DP2=6a2,AF2=AQ2+FQ2=10a2

新三角形三边长为4a、a、a.

∵AH2=AD2+AF2    ∴新三角形为直角三角形.

其面积为aa=a2.∵a2<15  ∴a2<15

(或通过转换得新三角形三边就是AD、DI、AI,即求△GAI的面积或利用△HAI与△HGI相似,求△HAI的面积也可以)

∴a的最大整数值为3.………………………………………………7分

3.将△BOC'沿BB'方向平移2个单位,所移成的三角形记为△B'PR,

将△COA'沿A'A方向平移2个单位,所移成的三角形记为△AQR.

由于OQ=OA+AQ=OA+OA'=AA'=2,OP=OB'+B'P=OB'+OB=BB'=2.又∠QOP=60°,则PQ=OQ=OP=2,

又因为QR+PR=OC+OC',故O、R、P三点共线.因为S△QOP=,

所以S△AOB'+S△BOC'+S△COA'=S△AOB'+S△B'PR+S△PQA< …………10分

【解析】所谓的难题就是一些知识点的综合,此题包括了图形的平移、等腰三角形的性质、三角形面积等知识,有一定的难度。

 

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3
5
,sin31°≈
1
2

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(参考数据:sin37°≈
3
5
,tan37°≈
3
4
,sin21°≈
9
25
,tan21°≈
3
8

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